第四十八章 我要交卷
秦克刷刷刷地在试卷的答题区边写边画起来:
“解:把1,2,…,13按如下规则排成一个圆圈:先排1,在1旁边放9(与1的差为8),在9的旁边放4(与9的差为5),这样继续放下去,每个数旁边的数与它相差8或5,最后得到如图1所示的一个圈(1,9,4,12,7,2,10,5,13,8,,3,11,6),圈上的数能同时满足:”
“(1)每两个相邻的数的差或是8,或是5;
(2)两个不相邻的数的差既不等于5,也不等于8。
所以本题可以化归为:在这个圈上,至多能选几个数,使得每两个数在圈上不相邻。”
ok,搞定,完成化归了。
这个化归后的问题,是不是与他给宁青筠举过的例子实质一模一样了?
所以接下来秦克做起来毫无难度可言,直接将那例子的解法写出来就行了。
“再画一个圈,依次排上1,2,…,13,那么可以选出6个数字,符合不相邻的条件,比如1,3,5,7,9,11。见图2。
接下来验证最多可以选几个数字。我们先任意选定数字1,这时与之相邻的2,13都不能选了,把剩下的10个数字配成5对,分别是:(3,4)、(5,6)、(7,8)、(9,10)、(11,12)。在这5对数字中,每一对至多只能选出1个数,也就是说,连同数字1在内,最多只能选出6个数字,使它们互不相邻。
由此可以得出本问题的答案是:6。”
秦克轻松加愉快,在五分钟不到就搞定第一道附加题。
他看了眼窗外,不知道宁青筠有没有想起这例题和能不能运用出化归法,如果也能想起,那这25分她自然能稳稳收入囊中了。
加油吧,学委,我只能帮你到这里了。
秦克又向看第二题,第二题也相当有难度,难怪能选为附加卷的大题。
“附加题2:设△abc中,顶点a,b,c的对边分别是a,b,c,内心i到顶点a,b,c的距离分别为m,n,l,求证:al^2+bm^2+cn^2=abc”
这一题看似条件不足无从下手,但秦克略一思索,便有了思路。
他决定用面积法来证明。
面积法最基本的思想,就是用两种不同的方法计算同一个面积,得到的结果应该是相等的。
首先引入△abc的外接圆半径r,由正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r,
三角形面积s=(1/2)absinc
=(1/2)ab·c/2r
=abc/4r,
所以s=abc/4r。
再将△abc分割为3个四边形,Δabc的面积s,显然等于3个四边形的面积之和s。
如此便将上面的s=abc/4r与3个四边形面积之和,建立起面积等式。
再根据3个四边形都有外接圆,且对角线相互垂直,用已知量来表示它们的面积并不会太难,再借助△abc的外接圆半径r可以消去角的正弦,不出意外,轻易就能证明这题的结论。
ok,开干。
“证明:设△abc内切圆与三边bc,ca,ab分别相切于d,e,f,分别连接ef,ei,fi,di,ai,分别得到aeif,bfid,cdie三个四边形……”
“所以s△abc=saeif+sbfid+scdie=(al^2+bm^2+cn^2)/4r,又因为s△abc=abc/4r,由面积法可知两种方法求得的s△abc相等,由此得出al^2+bm^2+cn^2=abc”
秦克神色轻松地放下笔,最后检查了一遍确定没漏题后,看看左右的考生,见人人都做得眉头紧锁,全文彦倒已恢复了正常,正刷刷刷地答题。
秦克眼珠一转,故意举手道:“报告老师。”
原本考室里就非常安静,只有监考老师踱步的声音和极偶尔的咳嗽声,所以秦克的声音虽然不算大,多数学生还是听到的,不由都好奇地抬头看了他一眼。
尤其是全文彦,听到秦克的声音下意识地浑身一个激灵,连做题的思路都被打断了。
这时已有个三十岁出头的监考女老师走了过来,问秦克:“同学,你有什么事?”
“我想交卷。”
听到这句话,考室里的一众苦战考卷的考生们几乎同时都冒出一个念头,终于有人被这次题目又多又难的初赛卷子给弄崩溃、要早早放弃了。
众人心里感叹之余,也暗暗给自己鼓励,自己可不能像这家伙一样轻易就放弃了,得坚持和发挥奥林匹克精神,就算不会做,也要坚持到最后一刻!
加油,xxx,你行的!
考室里的学生们心思大同小异,全文彦和远处的池嘉慕更是精神一振。
两人原本进入考场后心情久久不能平伏,好不容易进入状态,刚刚解了一两道题,就听到了秦克要交卷,两人在心头一松的同时,也不由“呵”地冷笑,这痞子果然水平很烂,也不知道怎么混入参赛队伍中的,赶紧滚吧。
与秦克“仇深似海”的全文彦,自信心刷地回复了。
自己刚才居然有点怕这个学渣痞子,简直好笑!这回自己就要用铁打的分数,狠狠地反抽他的脸!让他知道,这奥数考试,不是他这样的渣子能混进来撒野的!
还有那个宁青筠,仗着长得漂亮就傲气得不行,自己这回也要甩开她几十分,让她在自己面前永远抬不起头来!
这边全文彦心里全是病态的报复心理和自己yy产生的快意,来到秦克旁边的女老师倒是脾气好,也是个负责任的,她温声道:“同学,按照规定,不到一个半小时不能交卷的。这次的题目确实有点难度,你就算不会也应该多努力思考,说不定就……”
她见惯了考奥数考到崩溃的学生,知道该如何安抚。
“可我做完了啊。”
女老师说到一半的话戛然而止,她还以为自己听错了:“什么?”
秦克就等她这话,便放大了声音道:“我说,我已做完试卷了。这卷子太简单,一点难度都没,我所有题目都做完了,留下来也没什么事情做,能不能提前交卷啊?”
全场原本有点儿热血积极的气氛,顿时变得一片死寂。
所有考生都惊愕地抬头看向这个大言不惭的考生,心中只闪过一个念头,吹牛吧?这怎么可能?
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“解:把1,2,…,13按如下规则排成一个圆圈:先排1,在1旁边放9(与1的差为8),在9的旁边放4(与9的差为5),这样继续放下去,每个数旁边的数与它相差8或5,最后得到如图1所示的一个圈(1,9,4,12,7,2,10,5,13,8,,3,11,6),圈上的数能同时满足:”
“(1)每两个相邻的数的差或是8,或是5;
(2)两个不相邻的数的差既不等于5,也不等于8。
所以本题可以化归为:在这个圈上,至多能选几个数,使得每两个数在圈上不相邻。”
ok,搞定,完成化归了。
这个化归后的问题,是不是与他给宁青筠举过的例子实质一模一样了?
所以接下来秦克做起来毫无难度可言,直接将那例子的解法写出来就行了。
“再画一个圈,依次排上1,2,…,13,那么可以选出6个数字,符合不相邻的条件,比如1,3,5,7,9,11。见图2。
接下来验证最多可以选几个数字。我们先任意选定数字1,这时与之相邻的2,13都不能选了,把剩下的10个数字配成5对,分别是:(3,4)、(5,6)、(7,8)、(9,10)、(11,12)。在这5对数字中,每一对至多只能选出1个数,也就是说,连同数字1在内,最多只能选出6个数字,使它们互不相邻。
由此可以得出本问题的答案是:6。”
秦克轻松加愉快,在五分钟不到就搞定第一道附加题。
他看了眼窗外,不知道宁青筠有没有想起这例题和能不能运用出化归法,如果也能想起,那这25分她自然能稳稳收入囊中了。
加油吧,学委,我只能帮你到这里了。
秦克又向看第二题,第二题也相当有难度,难怪能选为附加卷的大题。
“附加题2:设△abc中,顶点a,b,c的对边分别是a,b,c,内心i到顶点a,b,c的距离分别为m,n,l,求证:al^2+bm^2+cn^2=abc”
这一题看似条件不足无从下手,但秦克略一思索,便有了思路。
他决定用面积法来证明。
面积法最基本的思想,就是用两种不同的方法计算同一个面积,得到的结果应该是相等的。
首先引入△abc的外接圆半径r,由正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r,
三角形面积s=(1/2)absinc
=(1/2)ab·c/2r
=abc/4r,
所以s=abc/4r。
再将△abc分割为3个四边形,Δabc的面积s,显然等于3个四边形的面积之和s。
如此便将上面的s=abc/4r与3个四边形面积之和,建立起面积等式。
再根据3个四边形都有外接圆,且对角线相互垂直,用已知量来表示它们的面积并不会太难,再借助△abc的外接圆半径r可以消去角的正弦,不出意外,轻易就能证明这题的结论。
ok,开干。
“证明:设△abc内切圆与三边bc,ca,ab分别相切于d,e,f,分别连接ef,ei,fi,di,ai,分别得到aeif,bfid,cdie三个四边形……”
“所以s△abc=saeif+sbfid+scdie=(al^2+bm^2+cn^2)/4r,又因为s△abc=abc/4r,由面积法可知两种方法求得的s△abc相等,由此得出al^2+bm^2+cn^2=abc”
秦克神色轻松地放下笔,最后检查了一遍确定没漏题后,看看左右的考生,见人人都做得眉头紧锁,全文彦倒已恢复了正常,正刷刷刷地答题。
秦克眼珠一转,故意举手道:“报告老师。”
原本考室里就非常安静,只有监考老师踱步的声音和极偶尔的咳嗽声,所以秦克的声音虽然不算大,多数学生还是听到的,不由都好奇地抬头看了他一眼。
尤其是全文彦,听到秦克的声音下意识地浑身一个激灵,连做题的思路都被打断了。
这时已有个三十岁出头的监考女老师走了过来,问秦克:“同学,你有什么事?”
“我想交卷。”
听到这句话,考室里的一众苦战考卷的考生们几乎同时都冒出一个念头,终于有人被这次题目又多又难的初赛卷子给弄崩溃、要早早放弃了。
众人心里感叹之余,也暗暗给自己鼓励,自己可不能像这家伙一样轻易就放弃了,得坚持和发挥奥林匹克精神,就算不会做,也要坚持到最后一刻!
加油,xxx,你行的!
考室里的学生们心思大同小异,全文彦和远处的池嘉慕更是精神一振。
两人原本进入考场后心情久久不能平伏,好不容易进入状态,刚刚解了一两道题,就听到了秦克要交卷,两人在心头一松的同时,也不由“呵”地冷笑,这痞子果然水平很烂,也不知道怎么混入参赛队伍中的,赶紧滚吧。
与秦克“仇深似海”的全文彦,自信心刷地回复了。
自己刚才居然有点怕这个学渣痞子,简直好笑!这回自己就要用铁打的分数,狠狠地反抽他的脸!让他知道,这奥数考试,不是他这样的渣子能混进来撒野的!
还有那个宁青筠,仗着长得漂亮就傲气得不行,自己这回也要甩开她几十分,让她在自己面前永远抬不起头来!
这边全文彦心里全是病态的报复心理和自己yy产生的快意,来到秦克旁边的女老师倒是脾气好,也是个负责任的,她温声道:“同学,按照规定,不到一个半小时不能交卷的。这次的题目确实有点难度,你就算不会也应该多努力思考,说不定就……”
她见惯了考奥数考到崩溃的学生,知道该如何安抚。
“可我做完了啊。”
女老师说到一半的话戛然而止,她还以为自己听错了:“什么?”
秦克就等她这话,便放大了声音道:“我说,我已做完试卷了。这卷子太简单,一点难度都没,我所有题目都做完了,留下来也没什么事情做,能不能提前交卷啊?”
全场原本有点儿热血积极的气氛,顿时变得一片死寂。
所有考生都惊愕地抬头看向这个大言不惭的考生,心中只闪过一个念头,吹牛吧?这怎么可能?
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