第六十四章 塞瓦定理、梅涅劳斯定理
看看时间,居然花了差不多十五分钟,秦克搓了搓冰冷僵硬的手指,然后用力地掐了下大腿,让自己的大脑保持着清醒,但身上的寒意越来越盛,偏呼出的气息越来越灼热,太阳穴也越来越胀痛,有种隐隐的晕眩感。
秦克能明显感觉自己的思维速度较之开考时又下降了不少。
不行,要再加快点!
秦克深吸口气,强逼自己集中精神,继续看向第二道附加题。
“附加题二:已知△abc的三条边bc、ca、ab上各有一点d、e、f,且满足ad、be、cf交于一点g,若△age,△cgd,△bgf的面积相等,求证:g是△abc的重心。”
秦克松了口气,这题看起来较之刚才第一题倒是相对容易了些,主要知识点涉及到的是三角形五心中的“重心”,也就是三角形的三条中线相交的点。
这是高中生都会的知识点,想证明g是△abc的重心,只需要证明d、e、f是△abc的中点即可。
看似简单,但想证明这点并极不容易,因为题目中只给出了面积相等的条件。
面积啊……
秦克立时试着用最擅长构造法加面积法来证明,但刚在脑海里思考了一会儿便发现不妥了。
以目前的条件,无论怎么构造,结合面积法,都只会让问题变得更复杂,哪怕写满整页纸,也未必能证明出来!那就真是纯属浪费时间和精力了!
这是出题人的陷阱!
可恶,这次出题的家伙有点水平啊……偏偏自己的状态不佳。
秦克再次用力掐了自己大腿两下,剧烈的疼痛终于让他的大脑清明了十几秒,他立时捕捉住一闪而逝的灵光,对哦,平面几何里不是有塞瓦定理、梅涅劳斯定理么?
尤其是解决三角形中的一点,以及三角形的三边中的点之间的关系,最适合使用的就是边元塞瓦定理和角元塞瓦定理!
虽然这两个定理生僻了点,但自己前天不是才给宁青筠讲解过么?
秦克迅速便想到了证明思路,提笔便画了个图,然后写道:
“证明:如图所示,设af/fb=x,bd/cd=y,ec/ea=z,由边元塞瓦定理可得xyz=1。
对于△bfc和直线agd,使用梅涅劳斯定理,可得fe/c****/db*ba/af=1。
……
由上式可得x=y=z,由xyz=1可得,x=y=z=1,因此可得出结论,d、e、f是△abc的中点,所以g是△abc的重心。原题得证。”
写了三十多行的证明过程,秦克长长地舒了口气,这出题人明显是挖坑,专门针对的是自己这样熟悉运用各种解题技巧策略的考生,一时不慎就要误入岐途。
连他这样的老手也差点着了道儿,被惯用的解题技巧所惑、走个大弯路,使得这题的解法变得极为繁复艰辛,真要证明出来,怕得花上一个小时。
幸好自己迅速发现了其阴谋,直接运用塞瓦定理、梅涅劳斯定理来破题,极大地缩短了证明的过程和耗尽的时间。
——学委啊学委,前天我才给你讲过这塞瓦定理、梅涅劳斯定理,这题你可别中计,可是整整五十分哪!拿不到手多可惜!
不过秦克现在已没余力再去思考宁青筠的事了,他的头脑的晕晕沉沉感觉越来越严重,强打精神匆匆看了下两道附加题的答案,见没什么问题错漏,便将之折起来,当成垫纸压到正卷和草稿纸下面,开始攻打正卷里的十道省级难题。
这十道大题的难易程度同样是与序号无关的,秦克也没时间没心思逐一审题了,反正目标是满分,那就都要将所有题目全部攻克的。
他直接从第一道开始解起。
“第1题:已知函数f(x)满足f(x^2)-f(x)=1,求f(x)。”
放在平时,这样的题目秦克看一眼就能看出解题步骤甚至是最终的答案,但这时他的状态变得极为糟糕,看着题目的字眼,竟有些重影了。
大脑更像是蒙上了一层水雾的镜子,模糊不清。
他勉力思考了将近三分钟,才想出用构造递推数列来解这题。
吃力地用发软的手捏紧笔,一笔一画地写完答案,秦克居然花了近十分钟,身上更是已不自觉地渗着虚汗。
不用对着镜子看,秦克也能猜到自己现在的脸色一定很不对劲,手更是冰冷得吓人,偏偏唇干舌燥,甚至有点胸闷想吐,难受得不行。
看看时间,距离开考已过去了近一个小时。
这还是秦克近月来第一次做数学试卷花了如此之长的时间,放在平时最佳状态下,这份试卷他怕已全部做完了。
不过秦克也没力气思考这些了,他裹紧身上的羽绒服,连续深呼吸几下,冰冷的空气透处胸腔,使得他能迅速强逼自己集中精神,然后继续一题一题地做下去。
但他的身体状态越来越糟糕,开始发困发倦,思考的时间越来越长,解题花的时间也越来越久。
接下来做题已不是智力与技巧的问题了,而将是毅力与体力的双重考验!
……
邓弘国是在省赛开考后才赶到省文体中心的,他昨天有个重要的会议没法子缺席,一直昨晚才结束,然后订了最近一趟的飞机,凌晨出发,清晨时才抵达远州机场。
下了飞机后他连早饭也没顾得上吃便直接坐上施存远的车赶了过来。
他这样不辞劳苦千里奔波,为的自然是想亲眼看看那个传闻中极为厉害的、叫秦克的天才学生。
现在国家集训队实在太缺这样的天才苗子了,哪怕有五成的可能,邓弘国也不愿错过。
省奥数组委会的几个领导听闻这样的大人物来了,哪会不过来作陪?邓弘国连连摆手,示意由施存远作陪即可,但盛情难却,还是不得不与这几个领导寒暄客套一番,耽搁了不少时间。
好不容易放下茶杯,离开办公室,邓弘国与施存远冒着凛冽的北风,走向考试大楼。
邓弘国揉揉眉心,借着寒风清醒大脑、驱散长途出差的疲惫,转头问旁边的施存远道:“存远兄,这次省赛的两道附加题,可是耗了我不少心血,你觉得怎样?”
施存远凝眉道:“很难,第一道涉及到哈密顿问题,比较冷门,估计没什么考生能做得出。第二道题,你是专门针对秦克的吧?”
听到老同学发现自己题目的妙处,邓弘国满是血丝的眼中顿时露出了得意之色:
“没错,第二题就是用来给秦克挖坑的。这小子对于各种奥数解题策略、技巧掌握得极好,运用这些技巧来解题已成了他的本能,我还专门给了如此美味的诱饵,他不上钩才怪。”
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秦克能明显感觉自己的思维速度较之开考时又下降了不少。
不行,要再加快点!
秦克深吸口气,强逼自己集中精神,继续看向第二道附加题。
“附加题二:已知△abc的三条边bc、ca、ab上各有一点d、e、f,且满足ad、be、cf交于一点g,若△age,△cgd,△bgf的面积相等,求证:g是△abc的重心。”
秦克松了口气,这题看起来较之刚才第一题倒是相对容易了些,主要知识点涉及到的是三角形五心中的“重心”,也就是三角形的三条中线相交的点。
这是高中生都会的知识点,想证明g是△abc的重心,只需要证明d、e、f是△abc的中点即可。
看似简单,但想证明这点并极不容易,因为题目中只给出了面积相等的条件。
面积啊……
秦克立时试着用最擅长构造法加面积法来证明,但刚在脑海里思考了一会儿便发现不妥了。
以目前的条件,无论怎么构造,结合面积法,都只会让问题变得更复杂,哪怕写满整页纸,也未必能证明出来!那就真是纯属浪费时间和精力了!
这是出题人的陷阱!
可恶,这次出题的家伙有点水平啊……偏偏自己的状态不佳。
秦克再次用力掐了自己大腿两下,剧烈的疼痛终于让他的大脑清明了十几秒,他立时捕捉住一闪而逝的灵光,对哦,平面几何里不是有塞瓦定理、梅涅劳斯定理么?
尤其是解决三角形中的一点,以及三角形的三边中的点之间的关系,最适合使用的就是边元塞瓦定理和角元塞瓦定理!
虽然这两个定理生僻了点,但自己前天不是才给宁青筠讲解过么?
秦克迅速便想到了证明思路,提笔便画了个图,然后写道:
“证明:如图所示,设af/fb=x,bd/cd=y,ec/ea=z,由边元塞瓦定理可得xyz=1。
对于△bfc和直线agd,使用梅涅劳斯定理,可得fe/c****/db*ba/af=1。
……
由上式可得x=y=z,由xyz=1可得,x=y=z=1,因此可得出结论,d、e、f是△abc的中点,所以g是△abc的重心。原题得证。”
写了三十多行的证明过程,秦克长长地舒了口气,这出题人明显是挖坑,专门针对的是自己这样熟悉运用各种解题技巧策略的考生,一时不慎就要误入岐途。
连他这样的老手也差点着了道儿,被惯用的解题技巧所惑、走个大弯路,使得这题的解法变得极为繁复艰辛,真要证明出来,怕得花上一个小时。
幸好自己迅速发现了其阴谋,直接运用塞瓦定理、梅涅劳斯定理来破题,极大地缩短了证明的过程和耗尽的时间。
——学委啊学委,前天我才给你讲过这塞瓦定理、梅涅劳斯定理,这题你可别中计,可是整整五十分哪!拿不到手多可惜!
不过秦克现在已没余力再去思考宁青筠的事了,他的头脑的晕晕沉沉感觉越来越严重,强打精神匆匆看了下两道附加题的答案,见没什么问题错漏,便将之折起来,当成垫纸压到正卷和草稿纸下面,开始攻打正卷里的十道省级难题。
这十道大题的难易程度同样是与序号无关的,秦克也没时间没心思逐一审题了,反正目标是满分,那就都要将所有题目全部攻克的。
他直接从第一道开始解起。
“第1题:已知函数f(x)满足f(x^2)-f(x)=1,求f(x)。”
放在平时,这样的题目秦克看一眼就能看出解题步骤甚至是最终的答案,但这时他的状态变得极为糟糕,看着题目的字眼,竟有些重影了。
大脑更像是蒙上了一层水雾的镜子,模糊不清。
他勉力思考了将近三分钟,才想出用构造递推数列来解这题。
吃力地用发软的手捏紧笔,一笔一画地写完答案,秦克居然花了近十分钟,身上更是已不自觉地渗着虚汗。
不用对着镜子看,秦克也能猜到自己现在的脸色一定很不对劲,手更是冰冷得吓人,偏偏唇干舌燥,甚至有点胸闷想吐,难受得不行。
看看时间,距离开考已过去了近一个小时。
这还是秦克近月来第一次做数学试卷花了如此之长的时间,放在平时最佳状态下,这份试卷他怕已全部做完了。
不过秦克也没力气思考这些了,他裹紧身上的羽绒服,连续深呼吸几下,冰冷的空气透处胸腔,使得他能迅速强逼自己集中精神,然后继续一题一题地做下去。
但他的身体状态越来越糟糕,开始发困发倦,思考的时间越来越长,解题花的时间也越来越久。
接下来做题已不是智力与技巧的问题了,而将是毅力与体力的双重考验!
……
邓弘国是在省赛开考后才赶到省文体中心的,他昨天有个重要的会议没法子缺席,一直昨晚才结束,然后订了最近一趟的飞机,凌晨出发,清晨时才抵达远州机场。
下了飞机后他连早饭也没顾得上吃便直接坐上施存远的车赶了过来。
他这样不辞劳苦千里奔波,为的自然是想亲眼看看那个传闻中极为厉害的、叫秦克的天才学生。
现在国家集训队实在太缺这样的天才苗子了,哪怕有五成的可能,邓弘国也不愿错过。
省奥数组委会的几个领导听闻这样的大人物来了,哪会不过来作陪?邓弘国连连摆手,示意由施存远作陪即可,但盛情难却,还是不得不与这几个领导寒暄客套一番,耽搁了不少时间。
好不容易放下茶杯,离开办公室,邓弘国与施存远冒着凛冽的北风,走向考试大楼。
邓弘国揉揉眉心,借着寒风清醒大脑、驱散长途出差的疲惫,转头问旁边的施存远道:“存远兄,这次省赛的两道附加题,可是耗了我不少心血,你觉得怎样?”
施存远凝眉道:“很难,第一道涉及到哈密顿问题,比较冷门,估计没什么考生能做得出。第二道题,你是专门针对秦克的吧?”
听到老同学发现自己题目的妙处,邓弘国满是血丝的眼中顿时露出了得意之色:
“没错,第二题就是用来给秦克挖坑的。这小子对于各种奥数解题策略、技巧掌握得极好,运用这些技巧来解题已成了他的本能,我还专门给了如此美味的诱饵,他不上钩才怪。”
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